Berry’s Paradox

Berry’s Paradox (Paradoks Berry) adalah paradoks tentang pemberian nama dan definisi. Paradoks ini menanyakan bilangan asli terkecil yang tidak dapat didefinisikan dengan kurang dari sejumlah kata tertentu, lalu menunjukkan bahwa kalimat yang baru saja kita ucapkan untuk menyebutnya sudah merupakan definisi yang lebih pendek dari batas itu. Hasilnya adalah kontradiksi: bilangan tersebut sekaligus tidak dapat dan dapat didefinisikan dalam jumlah kata yang sama.

Paradoks ini dinamai menurut G. G. Berry, pustakawan di Bodleian Library, Universitas Oxford, yang merumuskannya pada awal abad ke-20, sekitar 1906. Versi yang paling terkenal dipublikasikan oleh Bertrand Russell pada 1908, yang menyebutnya sebagai bilangan bulat terkecil yang tidak dapat dinamai dengan kurang dari sembilan belas suku kata. Nama itu sendiri hanya terdiri atas delapan belas suku kata. Menurut Gregory Chaitin, surat Berry kepada Russell sebenarnya membahas ordinal pertama yang tidak dapat dinamai dengan sejumlah kata yang terbatas, sehingga versi bilangan asli yang kita kenal kini merupakan penyederhanaan.

Selama beberapa dekade paradoks ini dipandang sebagai contoh paradoks semantik yang mengungkap bahaya konsep “dapat didefinisikan” ketika dipakai tanpa batasan. Dalam perkembangan selanjutnya, Chaitin menggunakannya sebagai inspirasi untuk teori informasi algoritmik (algorithmic information theory) dan bukti baru tentang ketaklengkapan sistem formal.

Pengertian Berry’s Paradox

Paradoks Berry termasuk dalam kelompok paradoks semantik, yaitu paradoks yang melibatkan konsep seperti makna, acuan, kebenaran, atau definisi. Ini berbeda dengan paradoks teori himpunan, seperti Paradoks Russell, yang muncul dari konsep matematis tentang keanggotaan.

Versi yang mudah diikuti adalah sebagai berikut. Perhatikan frasa: “bilangan asli terkecil yang tidak dapat didefinisikan dengan kurang dari dua puluh kata”. Argumen dibangun dalam tiga langkah:

• Kosakata kita terbatas, sehingga hanya ada sejumlah terbatas frasa yang terdiri atas kurang dari dua puluh kata.
• Karena itu hanya terbatas bilangan asli yang dapat didefinisikan dengan frasa-frasa tersebut, padahal bilangan asli tak terhingga banyaknya. Maka pasti ada bilangan asli yang tidak dapat didefinisikan demikian, dan di antaranya ada satu yang terkecil.
• Bilangan terkecil itu baru saja kita definisikan dengan frasa di atas, yang hanya terdiri atas tiga belas kata. Ini bertentangan dengan sifat yang dimilikinya.

Kontradiksi muncul karena sebuah frasa yang tampak mendefinisikan sebuah bilangan ternyata menggunakan sifat “dapat didefinisikan” yang mencakup frasa itu sendiri. Dengan kata lain, paradoks bertumpu pada swa-rujukan terselubung dalam konsep “dapat didefinisikan”.

Argumen Berry’s Paradox

Rumusan Asli dan Diagnosis Russell

Russell tidak memandang paradoks Berry sebagai teka-teki yang berdiri sendiri. Dalam artikelnya tentang teori tipe pada 1908, ia mengelompokkannya bersama beberapa paradoks lain sebagai gejala dari satu penyebab: sirkularitas yang tidak sah (vicious circle). Menurutnya, paradoks-paradoks itu muncul ketika kita membicarakan suatu totalitas, lalu mendefinisikan suatu objek yang sendiri termasuk dalam totalitas itu.

Solusi yang ditawarkan Russell adalah teori tipe bercabang (ramified type theory), yang menyusun ungkapan dan konsep ke dalam hierarki tingkat. Dalam kerangka ini, “dapat didefinisikan pada tingkat tertentu” bukan sifat yang berlaku pada tingkat yang sama, sehingga frasa Berry tidak lagi menjadi definisi yang sah dari bilangan yang dimaksud. Pendekatan hierarkis serupa kemudian dipakai dalam penanganan paradoks semantik lainnya.

Ambiguitas dan Hierarki Definisi

Akar teknis paradoks ini sering ditelusuri ke ketidakjelasan konsep “dapat didefinisikan”. Selama kita tidak menyebutkan bahasa atau sistem tempat definisi itu diberikan, konsep ini tidak tegas. Jika kita menetapkan bahasa tertentu, misalnya bahasa aritmetika, maka “dapat didefinisikan dalam bahasa itu” merupakan sifat yang hanya dapat dinyatakan dalam bahasa yang lebih kaya. Frasa Berry lalu tidak lagi termasuk dalam himpunan definisi yang sedang dihitung, dan kontradiksinya hilang.

Respons hierarkis ini memuaskan bagi banyak ahli, tetapi menimbulkan pertanyaan lanjutan: apakah bahasa sehari-hari yang kita pakai, yang tampak dapat membicarakan dirinya sendiri, harus diperlakukan sebagai bertingkat? Pertanyaan ini terus menjadi bahan perdebatan dalam filsafat logika.

Struktur Swa-rujukan dan Kedudukannya di antara Paradoks

Sejumlah penulis mempelajari apakah paradoks swa-rujukan memiliki struktur bersama. Russell pada 1908 sudah mengajukan deskripsi struktural semacam itu. Graham Priest kemudian mengusulkan Skema Inklosur (Inclosure Schema) dan berargumen bahwa paradoks swa-rujukan standar, semantik maupun teori himpunan, memenuhi struktur yang sama dan karena itu tergolong satu jenis. Dalam pandangan ini, paradoks Berry tergolong dalam keluarga yang sama dengan Paradoks Pembohong dan Paradoks Russell.

Namun beberapa penulis menunjukkan bahwa versi paradoks Berry dan Russell dapat dirumuskan tanpa swa-rujukan langsung. Ada pula versi paradoks Berry yang dirumuskan tanpa negasi. Temuan-temuan ini menyiratkan bahwa swa-rujukan dalam arti sempit bukan satu-satunya penyebab paradoks, dan bahwa pencarian akar yang lebih umum masih terbuka.

Dari Paradoks ke Teorema: Kompleksitas Kolmogorov

Kontribusi paling berpengaruh dari paradoks Berry pada abad ke-20 datang dari Gregory Chaitin. Ia mengganti “didefinisikan dengan kata-kata” dengan “dihasilkan oleh program komputer terpendek”, sehingga muncul konsep kompleksitas Kolmogorov (Kolmogorov complexity): kompleksitas sebuah objek adalah panjang program terpendek yang menghasilkannya. Kalimat Berry kini menjadi “bilangan pertama yang tidak dapat dihasilkan oleh program yang lebih pendek dari sekian simbol”.

Dengan gagasan ini, Chaitin membuktikan bahwa untuk setiap sistem formal yang konsisten dan memadai tentang aritmetika terdapat sebuah konstanta c sehingga sistem itu tidak dapat membuktikan pernyataan bahwa suatu objek tertentu memiliki kompleksitas lebih besar dari c, walaupun pernyataan serupa benar untuk tak terhingga banyaknya objek. Sketsa idenya adalah sebagai berikut. Jika sistem dapat membuktikan pernyataan semacam itu, kita dapat menulis program pendek yang mencari bukti pertama dari pernyataan tersebut, dan program itu menghasilkan objek yang konon sangat kompleks. Kontradiksinya sama dengan kontradiksi Berry: objek yang diklaim sulit dideskripsikan ternyata dapat dihasilkan oleh program yang singkat.

Hasil ini sering dipandang sebagai bukti ketaklengkapan yang tidak bertumpu pada argumen diagonal klasik Gödel, melainkan pada paradoks Berry. Chaitin menyebutnya sebagai pendekatan baru terhadap fenomena ketaklengkapan, dan ia mengembangkannya menjadi teori informasi algoritmik.

Tafsir dan Perdebatan

Tafsir terhadap hasil Chaitin menjadi bahan perdebatan. Penafsiran populer menyatakan bahwa konstanta c mencerminkan isi informasi atau kekuatan sebuah teori, sehingga sistem formal tidak dapat membuktikan objek yang lebih kompleks daripada dirinya sendiri. Panu Raatikainen mengkritik penafsiran itu secara komprehensif. Menurut analisisnya, konstanta tersebut sebenarnya ditentukan oleh indeks terkecil dari mesin Turing yang tidak berhenti tetapi fakta ketidakberhentiannya tidak dapat dibuktikan dalam teori yang bersangkutan, bukan oleh kompleksitas teori itu sendiri.

Pendekatan serupa juga dipakai untuk teorema ketaklengkapan kedua. Penelitian tentang paradoks ujian kejutan (surprise examination paradox) menunjukkan bahwa teorema tersebut dapat diturunkan dengan semangat yang sejalan dengan pendekatan Chaitin: mengambil paradoks yang tampak sebagai teka-teki bahasa lalu memformalkannya hingga menjadi teorema tentang batas penalaran formal. Hal ini memperlihatkan bahwa paradoks bahasa dapat menjadi sumber hasil matematis yang mendalam.

Batasan dan Kritik

Beberapa catatan perlu diingat. Pertama, paradoks Berry dalam bentuk bahasa alamiah memerlukan kejelasan tentang apa yang dimaksud dengan “kata” dan “didefinisikan”. Tanpa itu, kontradiksinya dapat dibaca sebagai akibat dari ambiguitas biasa dan bukan sebagai paradoks yang dalam. Kedua, hasil yang dibangun di atasnya hanya sahih setelah konsep-konsep kuncinya, seperti kompleksitas dan keterbuktian, dirumuskan secara tegas. Ketiga, seperti ditunjukkan dalam kritik terhadap tafsir populer, makna filosofis dari hasil-hasil itu tidak selalu sesederhana yang sering dikatakan.

Meski demikian, kontribusi paradoks ini jelas. Ia memperkenalkan masalah definisi dan swa-rujukan semantik ke dalam logika modern, dan secara tidak langsung melahirkan cabang penelitian baru yang menghubungkan logika, teori komputasi, dan informasi.

Referensi

• Chaitin, G. J. (1974). Information-theoretic limitations of formal systems. Journal of the ACM, 21(3), 403–424.
• Chaitin, G. J. (1995). The Berry paradox. Complexity, 1(1), 26–30.
• Kirk, R. E. (1981). A negation-free version of the Berry paradox. Analysis, 41(4), 223–224.
• Kritchman, S., & Raz, R. (2010). The surprise examination paradox and the second incompleteness theorem. Notices of the American Mathematical Society, 57(11), 1454–1458.
• Priest, G. (1994). The structure of the paradoxes of self-reference. Mind, 103(409), 25–34.
• Raatikainen, P. (1998). On interpreting Chaitin’s incompleteness theorem. Journal of Philosophical Logic, 27(6), 569–586.
• Russell, B. (1908). Mathematical logic as based on the theory of types. American Journal of Mathematics, 30(3), 222–262.
• Simmons, K. (2005). A Berry and a Russell without self-reference. Philosophical Studies, 126(2), 253–261.