Brandenburger–Keisler Paradox

Brandenburger–Keisler Paradox (Paradoks Brandenburger–Keisler, sering disingkat paradoks BK) dinamai menurut dua penulisnya, Adam Brandenburger dan H. Jerome Keisler. Brandenburger adalah ahli teori permainan yang banyak meneliti landasan epistemik teori permainan, sedangkan Keisler adalah logikawan matematika. Mereka menerbitkan hasilnya dalam artikel “An Impossibility Theorem on Beliefs in Games” di jurnal Studia Logica pada 2006. Artikel itu lahir dari kerja sama panjang mereka tentang bagaimana pemain dalam sebuah permainan bernalar tentang keyakinan pemain lain.

Konteks langsungnya adalah teori permainan epistemik (epistemic game theory), yaitu cabang teori permainan yang memformalkan keyakinan pemain tentang keyakinan pemain lain. Dalam cabang ini, Brandenburger, Amanda Friedenberg, dan Keisler juga menulis tentang apa yang disebut keterterimaan (admissibility) dalam permainan, yang terbit di Econometrica pada 2008. Brandenburger kemudian menulis tinjauan tentang perkembangan terbaru bidang ini dengan judul yang menyebut kekuatan paradoks, yaitu The Power of Paradox, di International Journal of Game Theory pada 2007.

Dalam beberapa tahun terakhir, paradoks BK menarik perhatian di berbagai bidang, mulai dari logika modal dan teori himpunan sampai teori kategori dan logika non-klasik. Ia sering dibahas bersama paradoks swa-rujukan yang lebih tua dan dipandang sebagai contoh bagaimana persoalan fondasi logika muncul kembali di ilmu sosial formal.

Pengertian Brandenburger–Keisler Paradox

Paradoks BK berpangkal pada sebuah kalimat tentang dua pemain, yang dalam literatur biasanya dinamai Ann dan Bob:

Ann percaya bahwa Bob berasumsi bahwa Ann percaya bahwa asumsi Bob keliru.

Untuk memahaminya, beberapa istilah kunci perlu dijelaskan.

• Keyakinan (belief): Ann percaya pada suatu proposisi jika proposisi itu benar pada semua keadaan yang menurut Ann mungkin.
• Asumsi (assumption): dalam teori permainan epistemik, asumsi berarti keyakinan terkuat, yaitu pemain menganggap mungkin persis satu himpunan keadaan dan tidak lebih.
• Model keyakinan: struktur formal yang menggambarkan keadaan-keadaan yang mungkin bagi tiap pemain dan keadaan mana saja yang dianggap mungkin oleh pemain pada keadaan tertentu.

Pertanyaannya: dapatkah kalimat di atas benar atau salah dalam suatu model? Jawaban Brandenburger dan Keisler berbentuk teorema ketidakmungkinan. Tidak ada model keyakinan yang lengkap, dalam arti bahwa untuk setiap himpunan keadaan yang dapat dibicarakan tentang pemain lain selalu ada keadaan tempat pemain itu berasumsi tepat himpunan tersebut. Argumen formalnya memakai struktur diagonal yang serupa dengan Paradoks Russell, dengan dua pemain yang saling berinteraksi. Karena itu paradoks ini kerap disebut versi dua orang atau versi interaktif dari paradoks Russell.

Perlu dicatat bahwa kalimat tersebut bersifat paradoks dengan cara yang berbeda pada dua tingkat. Dalam bentuk bahasa sehari-hari, kalimat itu mirip paradoks pembohong karena memuat konsep semantik “keliru”. Dalam bentuk formal yang dinyatakan dengan logika modal, kontradiksinya bersifat paradoks bergaya Russell. Inti kesimpulannya, sebagaimana dirumuskan dalam kajian lanjutan, adalah bahwa memodelkan keyakinan dan asumsi pemain secara lengkap tidak mungkin.

Argumen Brandenburger–Keisler Paradox

Kalimat BK dan Konsep Asumsi

Kalimat BK menjadi menarik karena menggabungkan dua notasi yang berbeda: keyakinan dan asumsi. Konsep asumsi muncul dalam kajian tentang hubungan antara asumsi bersama atas rasionalitas (common assumption of rationality) dan penghapusan strategi yang didominasi lemah. Dengan kata lain, konsep ini bukan sekadar permainan kata, melainkan bagian dari perangkat yang dipakai untuk menganalisis penalaran strategis.

Dalam kalimat BK, rantai “Ann percaya… Bob berasumsi… Ann percaya… asumsi Bob keliru” membentuk lingkaran: keyakinan Ann tentang Bob menyangkut keyakinan Ann sendiri tentang Bob, dan pada akhirnya menyangkut kebenaran asumsi Bob itu sendiri. Struktur melingkar inilah yang mengundang analisis diagonal.

Teorema Ketidakmungkinan

Teorema Brandenburger dan Keisler menyatakan bahwa jika kita meminta sebuah model keyakinan menyediakan, untuk setiap himpunan yang dapat dibicarakan, sebuah keadaan yang berasumsi tepat himpunan itu, permintaan tersebut tak dapat dipenuhi. Hasil ini berlaku ketika koleksi himpunan yang dipertimbangkan cukup kaya, dan ia ditunjukkan baik dalam bentuk himpunan-teoretis maupun dalam bentuk logika modal.

Implikasinya untuk teori permainan epistemik adalah bahwa ada batas pada seberapa lengkap pemodelan keyakinan dan asumsi yang mungkin. Hal ini penting karena sebagian pendekatan dalam bidang itu mengandaikan struktur tipe yang cukup kaya untuk memuat semua keyakinan yang mungkin. Hasil BK menunjukkan bahwa kekayaan itu tidak dapat diminta tanpa batas.

Pemahaman Struktur Formal

Eric Pacuit menulis kajian khusus yang berupaya memahami paradoks ini dari sisi struktur logikanya. Kajian ini membantu menempatkan paradoks BK dalam kerangka logika modal dan logika hibrida, yang diperlukan karena sebagian sifat penting model, misalnya hubungan antar keadaan dua pemain, tidak dapat dinyatakan dalam logika modal biasa. Dengan cara ini, paradoks BK menjadi objek studi formal dan bukan hanya teka-teki informal.

Diagonalisasi Interaktif

Samson Abramsky dan Jonathan Zvesper menempatkan paradoks BK dalam tradisi argumen diagonal yang lebih luas. Mereka menunjukkan bahwa argumen BK memperumum argumen diagonal pada skenario interaktif dalam teori permainan epistemik, dan merumuskannya ulang sebagai lema titik tetap (fixpoint lemma) yang sejajar dengan argumen diagonal Lawvere. Mereka juga menganalisis sumber daya logika yang diperlukan argumen BK dengan memakai logika regular, memperluasnya ke konteks multi-agen, dan membangun model yang lengkap terhadap asumsi dengan metode kategoris, yang terkait dengan koalgebra dan teori domain.

Kerangka umum semacam ini sejalan dengan upaya merumuskan pendekatan universal terhadap paradoks swa-rujukan, ketaklengkapan, dan titik tetap. Dalam pandangan ini, paradoks BK hanyalah satu instans dari pola diagonal yang sama yang juga melahirkan paradoks Russell dan teorema Cantor.

Pendekatan Non-klasik

Can Başkent mendekati paradoks ini dari dua arah non-klasik: teori himpunan tak berlandas (non-well-founded set theory) dan logika parakonsisten. Ia menyatakan bahwa ada dua alasan utama mengapa argumen BK menjadi paradoks. Pertama, keterbatasan teori himpunan klasik membatasi model matematis yang dipakai untuk menggambarkan swa-rujukan dan sirkularitas. Karena itu, beralih ke teori himpunan tak berlandas menawarkan pendekatan baru terhadap paradoks ini dan terhadap teori permainan secara umum.

Kedua, dengan logika parakonsisten ia menunjukkan bahwa bila kita mengizinkan inkonsistensi yang tidak meruntuhkan seluruh sistem, argumen BK dapat dipenuhi dalam situasi tertentu. Pendekatan ini serupa dengan solusi non-klasik terhadap paradoks pembohong, dan ia menggeser pertanyaan dari “bagaimana menghindari paradoks” menjadi “kerangka logika apa yang memungkinkannya”.

Versi Tanpa Swa-rujukan

Ahmad Karimi mengajukan versi paradoks BK yang tidak bersifat swa-rujuk, yang ia namakan paradoks BK gaya Yablo (Yablo-like Brandenburger–Keisler paradox). Versi ini menunjukkan bahwa pemodelan keyakinan dan asumsi pemain secara lengkap tetap tidak mungkin walaupun tidak ada swa-rujukan langsung. Karimi juga merumuskan logika asumsi temporal interaktif untuk memformalkan paradoks ini dan menunjukkan bahwa dalam logika itu paradoksnya menjadi teorema, yaitu tidak ada model lengkap untuk himpunan semua rumus modal yang dibangun dari operator tertentu.

Batasan dan Kritik

Beberapa catatan perlu diingat. Pertama, hasil BK adalah teorema ketidakmungkinan tentang model formal, bukan klaim bahwa pemain sungguhan tidak dapat memiliki keyakinan seperti itu. Kesimpulannya bergantung pada seberapa kaya koleksi himpunan atau bahasa yang diminta untuk dimodelkan. Kedua, solusi non-klasik seperti pendekatan teori himpunan tak berlandas dan logika parakonsisten tidak diterima semua orang, karena mengubah kerangka dasar yang dipakai teori permainan. Ketiga, tafsir tentang apakah paradoks ini bersifat semantik, logis, atau sekadar keterbatasan formalisme masih diperdebatkan. Keempat, hubungan antara paradoks ini dan praktik teori permainan terapan belum dikaji sejauh hubungannya dengan logika formal.

Meski demikian, paradoks BK penting. Ia memperlihatkan bahwa batas-batas logika swa-rujukan muncul di dalam ilmu sosial formal, menghubungkan teori permainan dengan logika modal dan teori kategori, dan menjadi salah satu contoh utama diagonalisasi interaktif.

Referensi

• Abramsky, S., & Zvesper, J. (2015). From Lawvere to Brandenburger–Keisler: Interactive forms of diagonalization and self-reference. Journal of Computer and System Sciences, 81(5), 799–812.
• Başkent, C. (2015). Some non-classical approaches to the Brandenburger–Keisler paradox. Logic Journal of the IGPL, 23(4), 533–552.
• Brandenburger, A. (2007). The power of paradox: Some recent developments in interactive epistemology. International Journal of Game Theory, 35(4), 465–492.
• Brandenburger, A., Friedenberg, A., & Keisler, H. J. (2008). Admissibility in games. Econometrica, 76(2), 307–352.
• Brandenburger, A., & Keisler, H. J. (2006). An impossibility theorem on beliefs in games. Studia Logica, 84(2), 211–240.
• Karimi, A. (2017). A non-self-referential paradox in epistemic game theory. Reports on Mathematical Logic, 52, 45–56.
• Pacuit, E. (2007). Understanding the Brandenburger–Keisler paradox. Studia Logica, 86(3), 435–454.
• Yanofsky, N. S. (2003). A universal approach to self-referential paradoxes, incompleteness and fixed points. Bulletin of Symbolic Logic, 9(3), 362–386.